Trigonometrie pe scurt

Trigonometria este adesea considerată una dintre cele mai dificile părți ale matematicii, dar secretul stă în vizualizare. Nu trebuie să memorezi mecanic tabele, trebuie doar să înțelegi un singur lucru: Cercul Trigonometric.

În acest articol, vom explora bazele trigonometriei, formulele esențiale și modul în care acestea se deduc logic.

Vei putea exersa folosind o aplicație în care poți vedea cum "funcționează" cercul trigonometric.

1. Ce este Cercul Trigonometric?

Cercul trigonometric este un cerc cu raza R = 1, centrat în originea unui sistem de axe cartezian xOy. Acesta este instrumentul fundamental pentru definirea funcțiilor trigonometrice pe mulțimea numerelor reale.

Cum îl citim?

Fiecărui unghi x (exprimat în radiani) îi corespunde un punct unic M pe cerc.

• Cosinusul (cos x): Este abscisa punctului de pe cerc (coordonata pe axa orizontală Ox).

• Sinusul (sin x): Este ordonata punctului de pe cerc (coordonata pe axa verticală Oy).

Proprietăți esențiale deduse din cerc:

1. Mărginire:

   Deoarece raza este 1, valorile funcțiilor sinus și cosinus nu pot depăși niciodată acest interval:

   -1 ≤ sin x ≤ 1 și -1 ≤ cos x ≤ 1

2. Identitatea Fundamentală (Pitagoreică):

   Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul format de proiecțiile punctului pe axe, obținem cea mai importantă formulă din trigonometrie:

   sin²x + cos²x = 1

3. Paritatea:

   Analizând simetria cercului, observăm comportamentul funcțiilor la unghiuri negative:

   • Funcția cosinus este pară (grafic simetric față de Oy):

     cos(-x) = cos x

   • Funcția sinus este impară (grafic simetric față de origine):

     sin(-x) = -sin x

2. Formule Trigonometrice Fundamentale

Nu este necesar să memorezi toate formulele, dar este crucial să știi cum se deduc cele principale.

A. Suma și Diferența Unghiurilor

Aceste formule permit calculul funcțiilor trigonometrice pentru suma sau diferența a două unghiuri a și b:

sin(a ± b) = sin a · cos b ± sin b · cos a

cos(a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b

B. Formule pentru Unghi Dublu

Acestea se deduc direct din formulele de mai sus pentru cazul a = b = x:

Sinusul unghiului dublu:

sin(2x) = 2 · sin x · cos x

Cosinusul unghiului dublu (are 3 variante utile):

1. Forma de bază:

   cos(2x) = cos²x - sin²x

2. Doar în funcție de cosinus:

   cos(2x) = 2cos²x - 1

3. Doar în funcție de sinus:

   cos(2x) = 1 - 2sin²x

C. Tangenta și Cotangenta

Tangenta reprezintă panta razei corespunzătoare unghiului x.

tg x = sin x / cos x

ctg x = cos x / sin x

Formula pentru tangenta unghiului dublu:

tg(2x) = (2 · tg x) / (1 - tg²x)

3. Transformări Trigonometrice

Aceste formule sunt esențiale în analiza matematică, în special pentru calculul integralelor, unde transformarea unui produs în sumă simplifică radical problema.

Transformarea produselor în sume

sin a · cos b = [sin(a+b) + sin(a-b)] / 2

cos a · cos b = [cos(a+b) + cos(a-b)] / 2

sin a · sin b = [cos(a-b) - cos(a+b)] / 2

Substituția Universală

Pentru calculul integralelor trigonometrice raționale sau rezolvarea ecuațiilor complexe, se utilizează substituția t = tg(x/2). Astfel, funcțiile trigonometrice devin raționale în funcție de t:

sin x = 2t / (1+t²)

cos x = (1-t²) / (1+t²)

tg x = 2t / (1-t²)

4. Exerciții Propuse

Verifică-ți cunoștințele rezolvând următoarele probleme, structurate pe niveluri de dificultate.

Nivel Începător:

1. Calculați sin x și tg x, știind că cos x = -1/2 și x ∈ (π, 3π/2).

2. Arătați că sin²(π/3) + cos²(π/6) = 3/2.

3. Determinați semnul expresiei E = sin 100° · cos 200°.

Nivel Mediu:

4. Simplificați expresia: E(x) = sin(2x)/(2sin x) - cos x.

5. Calculați produsul P = cos 20° · cos 40° · cos 80°.

6. Demonstrați identitatea: [1 - cos(2x)] / sin(2x) = tg x.

Nivel Avansat:

7. Calculați integrala (sau primitiva): ∫ sin(3x) cos(5x) dx folosind transformarea produsului în sumă.

8. Dacă sin x + cos x = 1, calculați sin²⁰²⁴x + cos²⁰²⁴x.

9. Utilizând substituția universală, rezolvați ecuația: sin x + 2cos x = 1.